前言

混沌是确定性系统中，有限相空间内的高度不稳定运动。自1963年Lorenz证明大气对流模型中存在混沌，非线性系统的混沌被广泛研究。人们一方面希望电路产生混沌，另一方面又希望混沌是可控的，以此来达到混沌通信或者混沌控制的目的，因此混沌同步是必不可少的。1991年，美国海军实验室的Pecora和Carroll研究 𝑛 维动态系统驱动同步问题时，得出了子系统同步的必要条件：子系统分量的李亚普诺夫指数全为负。本文是非线性系统混沌同步的MATLAB仿真。

一、非线性系统的扩散耦合

首先考虑典型参数的Lorenz系统和Rossler系统，系统设置详见以往的文章MATLAB混沌系统仿真其一：Lorenz系统和Rossler系统。根据文章的研究结果，典型参数下，使用y分量驱动的罗斯系统、使用x或z分量驱动的Lorenz系统可以同步。采用扩散耦合的方式使用Rossler系统驱动Lorenz系统：

Rossler系统	Lorenz系统
$dx_1=-\left(y_1+z_1\right)$	$dx_2\mathrm{=}-\sigma\left(x_2-y_2\right)$
$dy_1=x_1+ay_1$	$dy_2\mathrm{=}rx_2-y_2-x_2z_2+K(y_2-y_1)$
$dz_1=b+z\left(x_1-c\right)$	$dz_2\mathrm{=}-\beta\ z_2+x_2y_2$

其中 $K$ 是耦合强度。
驱动系统直接使用定步长的ode45函数计算，方便简洁

y0=[1;0;1];%初值矩阵
tspan=0:0.001:200;
k=40;%耦合强度
t0=100;%注入时间
[t,y]=ode45(@rossler,tspan,y0);
v=y(:,2);
[t1,y1] = rk4(t,y0,v,k,t0);

而对于从系统，只需要在MATLAB混沌系统仿真其一：Lorenz系统和Rossler系统的基础上，修改Lorenz系统公式，加入上述Rossler系统 $y$ 分量。当然，如果要求有更高的要求，可以修改以前写的rk4函数，增加动态显示，实时加入等功能。这里展示了使用两个Lorenz函数，一个不耦合，另一个耦合，使得可以输出实时可控。

function [t,y]=rk4(t,y0,v,k,t0)
if(~exist('t0','var'))
    t0 = 0;  % 默认不分割
end    
y=zeros(length(y0),length(t));  %储存结果的矩阵
y(:,1)=y0;  %加入初值
spl=ceil(length(t)*t0/max(t));
for n=2:length(t)   
    % 龙格库塔四阶算法
    if n<spl
        d0 = v(n-1) - y(2,n-1);
        dt = t(2)-t(1);
        k1 = dt * lorenz(t(n-1), y(:,n-1), d0);
        k2 = dt * lorenz(t(n-1) + dt/2, y(:,n-1) + k1 /2,  d0);
        k3 = dt * lorenz(t(n-1) + dt/2, y(:,n-1) + k2 /2,  d0);
        k4 = dt * lorenz(t(n-1) + dt, y(:,n-1) + k3,  d0);
        y(:,n)=y(:,n-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    else
        d0 = v(n-1) - y(2,n-1);
        dt = t(2)-t(1);
        k1 = dt * C_lorenz(t(n-1), y(:,n-1), d0, k);
        k2 = dt * C_lorenz(t(n-1) + dt/2, y(:,n-1) + k1 /2,  d0, k);
        k3 = dt * C_lorenz(t(n-1) + dt/2, y(:,n-1) + k2 /2,  d0, k);
        k4 = dt * C_lorenz(t(n-1) + dt, y(:,n-1) + k3,  d0, k);
        y(:,n)=y(:,n-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
    end
end
y=y';

function dy_dt=lorenz(t,y)
%lorez方程
p=10;
r=40;
b=8/3;

dx_dt= p*(y(2)-y(1));
dy_dt= r*y(1)-y(2)-y(1)*y(3);
dz_dt=y(1)*y(2)-b*y(3);

dy_dt=[dx_dt;dy_dt;dz_dt];
end

function dy_dt=C_lorenz(t,y,d,k)
    %Lorenz方程
    p=10;
    r=40;
    b=8/3;

    dx_dt= p*(y(2)-y(1));
    dy_dt= r*y(1)-y(2)-y(1)*y(3)+k*d;
    dz_dt=y(1)*y(2)-b*y(3);

    dy_dt=[dx_dt;dy_dt;dz_dt];
end
end

再加入动态图像的输出，输出如下图形：

在这里插入图片描述
可以看出，在非线性系统中，使用子系统驱动另一个非线性系统(就像此处的使用Rossler系统的 $y$ 分量驱动Lorenz的 $y$ 分量)，在耦合强度 $K$ 足够大，超过临界耦合条件，可以达成两系统的同步。

不同的驱动方式和不同的系统在混沌同步中具有不同的表现，耦合方式也不仅有扩散耦合，如Deniz Eroglu在17年的论文里直接使用两个初值不同的Lorenz系统，但两个系统的 $x$ 分量相同。本文的混沌同步是不完全的同步(因为驱动-响应并非相同的系统)，实际上的混沌同步也分为完全同步和广义同步。在光通信系统、电路系统都能达成混沌同步，由于带宽限制和衰减，电路的混沌通信受到严重限制，全光混沌通信在未来更具有潜力。