文献介绍

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新出炉–吴杰老师的文章！文献名字是 $\ DEA \ models \ with \ fairness \ concern:Modelling \ and \ computational \ aspects$ ，发表于1区 $O m e g a$ 期刊上，优秀。

这篇文献已经看了两三天了，里面的数学内容还没有彻底消化，但是模型以及所有的结果已经全部可以算得。这里自己主要是对模型抽丝剥茧，理理模型公式。一些数学理论大家有兴趣的话可以仔细钻研。

注意：由于本人看的文献基本都是外刊，国内文献有些术语我不太熟悉。有时候自己对英语翻译，可能说法不太对，我会尽量在一些词汇后面标注英文

二阶段网络示意图

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由于这篇文献考虑公平性，对目标函数加上了一些惩罚项，在 $C C$ 变换时已经不容易。所以在网络结构方面，考虑的是最简单的二阶段网络，要素只有投入、中间变量和产出。

基础知识——合作和非合作模式

非合作模式（Non-cooperative mode）

$\ dominates \ the \ overall \ system$

如果是阶段一（图中用 $s u b D M U 1$ 表示）作为领导者（leader），阶段二（ $s u b D M U 2$ ）作为跟随者（follower），此时 $s u b D M U 1$ 的最优效率 $E^{non-1*}_{o}$ 由 $m o d e l 1$ 计算得到。
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$C h a r n e s ? C o o p e r$ 变化存在，但不再特意指出。

在已知 $E^{non-1*}_{o}$ 后，继而求解 $E^{non-12}_{o}=\frac{\sum\limits_{r=1}^{s}\mu^{*}_{r}y_{ro}}{\sum\limits_{d=1}^{p}\omega_{d}^{*}z_{do}}$ 。文献中并没有给出求解 $E^{non-12}_{o}$ 的具体公式，应该是：
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$\ dominates \ the \ overall \ system$

与上述同理，如果是阶段二（图中用 $s u b D M U 2$ 表示）作为领导者（leader），阶段一（ $s u b D M U 1$ ）作为跟随者（follower），此时 $s u b D M U 2$ 的最优效率 $E^{non-2*}_{o}$ 由 $m o d e l 3$ 计算得到。
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在已知 $E^{non-2*}_{o}$ 后，继而求解 $E^{non-21}_{o}=\frac{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}^{*}z_{do}}{\sum\limits_{i=1}^mv_{i}^{*}x_{io}}$ 。 $E^{non-12}_{o}$ 的具体公式为：

合作模式（Cooperative mode）

合作模式，实质上就是令两个阶段的加权求和效率最大。模型公式为 $m o d e l 5$ 。
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由于权重 $a, b$ 为0~1之间的常数，并且其大小由决策者（ $d e c i s i o n m a k e r$ ，即 $D M$ ）。 $K a o$ 在2014年的 $O m e g a$ 上发表了一篇关于权重设置的文章，提出给权重赋值。那么本文献也是这么做的，令：
$a=\frac{\sum\limits_{i=1}^mv_{i}x_{io}}{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}z_{do}+\sum\limits_{i=1}^mv_ix_{io}},b=\frac{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}z_{do}}{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}z_{do}+\sum\limits_{i=1}^mv_ix_{io}}$

由此， $m o d e l 5$ 的目标函数变为： $\ max \ \frac{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}z_{do}+\sum\limits_{r=1}^s\mu_ry_{ro}}{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}z_{do}+\sum\limits_{i=1}^mv_ix_{io}}$ 。
此时，当 $m o d e l 5$ 达到最优值， $s u b D M U 1$ 和 $s u b D M U 2$ 的效率分别为：
$E_o^{1*}=\frac{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}^*z_{do}}{\sum\limits_{i=1}^mv_i^*x_{io}},E_o^{2*}=\frac{\sum\limits_{r=1}^s\mu_r^*y_{ro}}{\sum\limits_{d=1}^p\omega_{d}^*z_{do}}$

考虑公平性的二阶段网络—— $\ utility \ model \ with \ fairness \ concern$

文献中指出，公平关怀是行为经济学中指导人际交往的一个重要理念。公平关注的基本观点是，参与人关注的是自身利益以及利益在所有参与人之间的分配结果。
为了公平起见，假设两个阶段除了自身利益外，对彼此都有公平的关注，或者整体系统的监管者为两个子决策单元设定一个公平的结果。在本研究中，可以将自我效益视为效率。随后，假设每个子决策单元将协商一个双方都接受的公平的自我效能结果。对公平结果的任何损害都将以对彼此产生负效用的形式出现。
假设 $s u b D M U 1$ 的效率是 $s u b D M U 2$ 的效率的 $k$ 倍，即 $E_o^1=k*E^2_o（k>0）$ ，基于行为经济学中的不平等厌恶和公平关注，对 $s u b D M U 1$ 和 $s u b D M U 2$ 的公平关注效用分别定义如下:
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并且 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2>0$ 。
其中， $\alpha$ 是嫉妒参数（ $\ parameter$ ）， $\beta$ 是内疚参数（ $\ parameter$ ）。

非合作模式（Non-cooperative mode）

文献中详细说了 $s u b D M U 1$ 领导的情况，那么，在这里同样地详细说明该情况， $s u b D M U 2$ 领导的情况草草带过。

$\ dominates \ the \ overall \ system$

当 $s u b D M U$ （阶段一）是领导者并且关注公平性时，此时 $s u b D M U$ 不只关注自己的效率 $E^1_o$ ，同时关注公平关注效用（ $\ concern \ utility$ ） $f_o^1$ 。模型见 $m o d e l 9$ ，一些变换见下图：
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这里，经过 $C h a r n e s ? C o o p e r$ 变化，令：
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此时， $m o d e l 9$ 转变为 $m o d e l 11$ ：

在 $m o d e l 11$ 中， $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 是由决策者决定的常数， $k$ 和 $q$ 是需要讨论的。在后续例子中，作者有给出算法：
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例子

文献中给出了数据，如 $T a b l e 1$ 所示：
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$E^{non-1*}$ 是由 $m o d e l 1$ 所得， $E^{non-12*}$ 是由 $m o d e l （ 1 ? 1 ）$ 所得。
$q$ 是通过循环遍历可得到。不同的 $k$ 和嫉妒参数、内疚参数，所得结果不同。