[网络协议]CRC校验原理思考

前言

考研狗，读计组，读至CRC，惑之。
花了些查找资料和了解，先写个大概有时间再补齐。

基础知识

① 带余除法

$$f(x)=p(x)q(x)+r(x),\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p)$$

② Galois域
$$GF(2):({\mathbb{Z}}_2,+,?)$$

操作过程概述

回顾整个过程：
① 有一个需要传输的二进制串，记为$D$，它所对应的多项式为$d(x)$（在模2多项式环中），顺便记 $\mathrm{deg}d(x)=n$
② 有一个事先决定好的生成多项式 $p(x)$，这个多项式对于发送方和接收方是已知的，记 $\mathrm{deg}p(x)=m$
③ 将二进制串$D$左移$m$位，得到新的二进制串$D^{\prime }$，对应的多项式为 $f(x)=d(x)?x^m$
④ 对$f(x)$关于模2除以生成多项式$p(x)$，得到余数$r(x)$，这里具体的商我们并不关心。
⑤ 把$r(x)$对应的二进制串连接在串$D$后面，得到$D_1$，$D_1:=\overline{DR}$.这个$D_1$正是信息$D$对应的CRC码
⑥ 当接收端接收到二进制串$D^{\prime }$时，会将它与生成多项式在模2下进行除法，若所得的余数为0，则在很大概率下可以确定传输过程没有发生错误。

最后一步检验模2整除后为何余0

延用前面多项式的符号，我们有第③步的
$$f(x)=d(x)?x^m\text{\hspace{1em}(1)}$$
第④步的
$$f(x)=p(x)q(x)+r(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$
在第⑤步操作中，存在如下关系式：
$$d_1(x)=d(x)?x^m+r(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$
由（1）&（3），有
$$d_1(x)=f(x)+r(x)\text{\hspace{1em}(4)}$$
因为该多项式环是GF(2)，因此，加一个数等同于减一个数，故有
$$d_1(x)=f(x)?r(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
联合（2）,最终得到
$$d_1(x)=p(x)q(x)\text{\hspace{1em}(6)}$$
$d_1(x)$不就正好对应我们接收端接收到的二进制串吗？由（6），我们知道余数为0

在只错一位的情况下，余数只与多项式结构有关

接下来我们讨论检错功能，这里只讨论传输过程中之多错一位的情形。先举个例子：
假设传输多项式为 $M(x)=x^3+1$，生成多项式为 $G(x)=x^3+x+1$，对应的二进制串就分别为1001和1011。用左移3位得到的1001000模2除以1011，可以得到余数110，将110连接到1001后面，得到$M(x)$对应的CRC码位1001110.
发送端发送的信号对应的多项式是 $d_1(x)$，设接收端接收到的信号对应的多项式为 $d_2(x)$，简单计算，有下表：

（听说这也是“循环”二字的由来）
我们自然而然的想问一个问题，在固定生成多项式下，只要传输的多项式最高项阶数相同，那么出错位对应的余数会不会改变？
答案是不会改变。延用前面符号，假设出错位在第$k$位（$1\le k\le n+m+1$），则
$$d_2(x)=d_1(x)+x^{k?1}\text{\hspace{1em}(7)}$$
对 $x^{k?1}$ 进行带余除法
$$x^{k?1}=p(x)s(x)+t(x)\text{\hspace{1em}(8)}$$
可以看到（8）对 $d(x)$ 是什么并不关心。

最后还剩一个我未解决的问题：在满足式 $2^m\ge n+m+1$ 的条件下，错一位所对应的余数是不是各不相同？好像是各不相同，但具体的推导我还没证出来，证出来再补坑。