动手学深度学习Pytorch版
2.3 线性代数
#2.3.1 标量
仅包含一个数值的叫标量（scalar)，标量由仅有一个元素的张量表示。
import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
print(x+y,x*y,x/y,x**y)
------
tensor([5.]) tensor([6.]) tensor([1.5000]) tensor([9.])
#2.3.2 向量
标量值组成的列表为向量，通过一维张量处理向量。
x = torch.arange(4)
print(x)
print(x[3]) #通过索引访问元素
print(len(x)) #长度
print(x.shape) #维度和形状
------
tensor([0, 1, 2, 3])
tensor(3)
4
torch.Size([4])
向量或轴的维度=长度=元素数量
张量的维度=张量具有的轴数
#2.3.2矩阵
A = torch.arange(20).reshape(5,4)
print(A)
print(A.T)
------
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])
对称矩阵等于其转置。
B = torch.tensor([[1,2,3],[2,0,4],[3,4,5]])
print(B==B.T)
------
tensor([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]])
#2.3.4 张量
张量（本小节中指代数对象）提供描述具有任意数量轴的n维数组的通用方法。
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
print(X)
------
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
处理图象时，图像以n维数组形式出现，3个轴对应高度，宽度，和通道。
#2.3.5 张量算法的基本性质
A = torch.arange(20,dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone() #分配新内存
print(A,A+B)
------
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]])
哈达玛积（Hadamard product）：矩阵按元素乘法。
print(A * B)
------
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])
张量加or乘标量不改变张量形状，每个元素与标量相加or相乘。
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
print((a + X),(a * X).shape)
------
tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],
[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]])
torch.Size([2, 3, 4])
#2.3.6 降维
1.求和
x = torch.arange(4,dtype = torch.float32)
print(x,x.sum())
------
tensor([0., 1., 2., 3.]) tensor(6.)
2.使用求和函数降低张量的维度
axis=0,行降维。
axis=1,列降维
A = torch.arange(20).reshape(5,4)
print(A)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
print(A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=1)
print(A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape)
------
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
tensor([40, 45, 50, 55])
torch.Size([4])
tensor([ 6, 22, 38, 54, 70])
torch.Size([5])
沿着行和列对矩阵求和=对矩阵所有元素求和
print(A.sum(axis=[0,1]))
------
tensor(190)
3.平均值
print(A.mean(),A.sum()/A.numel())
------
tensor(9.5000) tensor(9.5000)
注意类型，否则报错。
沿指定轴降低张量的维度。
A = torch.arange(20,dtype = torch.float32).reshape(5,4)
print(A)
print(A.mean(axis=0),A.sum(axis=0)/A.shape[0])
------
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([ 8., 9., 10., 11.])
tensor([ 8., 9., 10., 11.])
4.非降维求和
列降维求和，保持轴数不变。
sum_A=A.sum(axis=1,keepdims=True)
print(sum_A)
------
tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])
广播机制
print(A / sum_A)
------
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
cumsum函数不沿任何轴降低输入张量的维度。
print（A.cumsum(axis=0))
------
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]])
上述张量中的元素为A在行维度的阶段性累和结果。
#2.3.7 点积（Dot Product）
点积：相同位置的按元素乘积的和。
x = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
y = torch.ones(4,dtype=torch.float32)
print(x,y, torch.dot(x, y))
------
tensor([0., 1., 2., 3.]) tensor([1., 1., 1., 1.]) tensor(6.)
点积=按元素乘法+求和
print(torch.sum(x*y))
------
tensor(6.)
#2.3.8 矩阵-向量积
A = torch.arange(20,dtype = torch.float32).reshape(5,4)
x = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
print(A.shape,x.shape,torch.mv(A,x))
------
torch.Size([5, 4]) torch.Size([4]) tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.])
#2.3.9 矩阵-矩阵乘法
A = torch.arange(20,dtype = torch.float32).reshape(5,4)
B = torch.ones(4,3)
print(torch.mm(A,B))
------
tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]])
#2.3.10 范数
范数（norms）：一个向量的范数告诉我们一个向量有多大，指分量的大小，范数非负。
线性代数中，向量范数是将向量映射到标量的函数f。
1.L1范数：绝对值函数和按元素求和组合起来，受异常值影响较小。
print(torch.abs(u).sum())
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tensor(7.)
2.L2范数：向量元素平方和的平方根。
u = torch.tensor([3.0,-4.0])
print(torch.norm(u))
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tensor(5.)
3.弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）：矩阵元素平方和的平方根。
print(torch.norm(torch.ones((4,9))))
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tensor(6.)
小结：
? 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。
? 向量泛化?标量，矩阵泛化?向量。
? 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、?、?和任意数量的轴。
? ?个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。
? 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的哈达玛积。它与矩阵乘法不同。
? 在深度学习中，我们经常使?范数，如L1范数、L2范数和弗罗?尼乌斯范数。
? 我们可以对标量、向量、矩阵和张量执?各种操作。