[数据结构与算法]算法学习-最短路Dijkstra算法

概念介绍

本博客在学习北京大学陈斌老师《数据结构与算法》MOOC课程中总结反思形成。

最短路问题

• 带权图上最短路径的问题
• 词梯问题的高阶形式（可以认为词梯问题是权重都一致的最短路问题）

Dijkstra算法

• 一个迭代算法，得出从一个顶点到其余所有顶点的最短路径

实现步骤

准备阶段

• 在顶点Vertex类中的成员dist用于记录从开始顶点到本顶点的最短带权路径长度（权重之和）
• 顶点的访问次序由一个优先队列来控制，队列中作为优先级的是顶点的dist属性。

实现阶段

• 只有开始顶点dist设为0，而其他所有顶点dist设为sys.maxsize（最大整数），全部加入优先队列；
• 随着队列中每个最低dist顶点率先出队，并计算它与邻接顶点的权重，会引起其它顶点dist的减小和修改，引起堆重排；
• 并据更新后的dist优先级再依次出队。

可视化

算法复杂度分析

• 所有顶点加入优先队列并且建堆，时间复杂度$O(|V|)$;
• 每个顶点仅出队1次，每次delMin花费$O(log|V|)$，一共是$O(|V|log|V|)$;
• 每个边关联到的顶点做一次decreaseKey操作（$O(log|V|)$）,一共是$O(|E|log|V|)$;
• 综上所述：数量级是$O((|V|+|E|)log|V|)$。

代码实现

最短路代码

陈斌老师实现的最短路算法

def dijkstra(aGraph, start):
    pq = PriorityQueue()
    start.setDistance(0)
    # 对所有顶点建堆，形成优先队列
    pq.buildHeap([(v.getDistance(), v) for v in aGraph])
    while not pq.isEmpty():
        # 优先队列出队
        currentVert = pq.delMin()
        for nextVert in currentVert.getConnections():
            newDist = currentVert.getDistance() + currentVert.getWeight(nextVert)
            if newDist < nextVert.getDistance():
                # 修改出队顶点所邻接顶点的distm并逐个重拍队列
                nextVert.setDistance(newDist)
                nextVert.setPred(currentVert)
                pq.decreaseKey(nextVert, newDist)

自己为调用该算法实现的图的创建和路径回溯

最短路图的创建

这里为了方便以后的调用，考虑到邻接矩阵使用的广泛性，实现了给定邻接矩阵，创建邻接表图

# 实现邻接矩阵转化为邻接图
def Matrix2Graph(LJGraph, LJmatrix):
    for i in range(len(LJmatrix)):
        LJGraph.addVertex(i)

    for i in range(len(LJmatrix)):
        for j in range(len(LJmatrix[0])):
            if i != j:
                LJGraph.addEdge(i, j, LJmatrix[i][j])

    # 检验构造的图的正确性
    for v in LJGraph:
        for w in v.getConnections():
            print("%s,%s" % (v.getId(), w.getId()))
            print(v.getWeight(w))

路径回溯

在Dijkstra算法求解出最短路后，回溯出终点到起点的最短路径

def traverse(y):
    x = y
    _temp = []
    _temp.append(x.getId())
    while (x.getPred()):
        _temp.append(x.getPred().getId())
        x = x.getPred()
    return _temp

调用示例

if __name__ == '__main__':
    LJGraph = Graph()
    LJmatrix = [[0, 2, 5, 1, sys.maxsize, sys.maxsize],
                [2, 0, 3, 2, sys.maxsize, sys.maxsize],
                [5, 3, 0, 3, 1, 5],
                [1, 2, 3, 0, 1, sys.maxsize],
                [sys.maxsize, sys.maxsize, 1, 1, 0, 1],
                [sys.maxsize, sys.maxsize, 5, sys.maxsize, 1, 0]]

    # 复习：对于基础的二维列表，利用len获取形状
    # print(LJmatrix)
    # print(LJmatrix[0][1])
    Matrix2Graph(LJGraph, LJmatrix)

    # 如何使用Dijkstra(迪杰斯特拉算法)算法
    dijkstra(LJGraph, LJGraph.getVertex(0))

    # 如何反向调用得到图的解
    path = traverse(LJGraph.getVertex(5))
    print(path)
    dijkstra(LJGraph, LJGraph.getVertex(0))

    # 如何反向调用得到图的解
    path = traverse(LJGraph.getVertex(5))
    print(path)